Light | 計算全息的逆問題求解

▎本文由論文作者團隊投稿

▎導(dǎo)讀

計算全息 (Computer-generated Holography, CGH) 是一種通過計算機生成全息圖并進行光學重建從而生成用戶自定義波前的技術(shù)。通過準確的全息圖實現(xiàn)高精度的波前調(diào)制，是計算全息研究領(lǐng)域中的一個關(guān)鍵問題。找到用于準確重建目標圖像的全息圖精確解，本質(zhì)上是一個病態(tài)的逆問題。這類病態(tài)逆問題通常借助非凸優(yōu)化算法轉(zhuǎn)化為最優(yōu)值求解問題，求解精度取決于約束、優(yōu)化框架和初始化條件等因素。優(yōu)化算法的介入，使計算全息在虛擬現(xiàn)實與增強現(xiàn)實、抬頭顯示、數(shù)據(jù)加密、激光加工和超表面設(shè)計等應(yīng)用中能夠進一步發(fā)揮關(guān)鍵性的作用。

劍橋大學初大平教授與清華大學曹良才教授團隊總結(jié)了全息圖優(yōu)化的算法設(shè)計準則，歸納了計算全息現(xiàn)有的優(yōu)化框架，同時也針對計算全息優(yōu)化算法的最新應(yīng)用進展發(fā)表見解。相關(guān)綜述論文以“Non-convex Optimization for Inverse Problem Solving in Computer-generated Holography”為題發(fā)表在Light: Science & Applications。

▎正文

過去幾十年，研究人員對計算全息圖重建精度的要求日益提升，推動了計算全息優(yōu)化算法的不斷進步。如圖1所示，全息圖生成的基本問題可以描述為從給定的物光波前強度分布求解全息圖，這是一個受物理和硬件條件約束的逆問題。

圖1. 計算全息中的逆問題

在計算全息的逆問題中，嚴格滿足所有約束并能夠重建出人為定義強度分布的全息圖不一定是真實存在的。然而在計算全息的物理模型中，重建波前與其強度之間的關(guān)系是病態(tài)的，這使計算全息能夠通過非凸優(yōu)化獲得近似滿足所有約束的多個全息圖解，即局部最優(yōu)解。非凸優(yōu)化過程涉及的數(shù)學模型可由圖2具象化表示。

圖2：非凸優(yōu)化求解逆問題

為確保非凸優(yōu)化的準確運行以獲得局部最優(yōu)解，優(yōu)化中需要考慮三個關(guān)鍵因素：約束、優(yōu)化框架和初始化條件。

一、約束

約束是指對全息圖非凸優(yōu)化所施加的限制。如圖3所示，它們由優(yōu)化的物理模型和實際硬件條件決定，規(guī)定了優(yōu)化算法尋找逆問題最優(yōu)解的閉集。

圖3：全息圖優(yōu)化基本約束

· 約束①限制了重建波前的強度分布為物體強度分布。它作為非凸優(yōu)化在物平面的約束條件，能夠確保全息圖如實地重建物光波前強度。

· 約束②描述了有限的傳播帶寬。硬件條件的限制決定了系統(tǒng)的帶寬不是無限的，而具體的帶寬限制與調(diào)制器件參數(shù)、傳播距離、衍射算法類型等因素相關(guān)。

· 約束③表示全息圖有限的空間尺度，在實際計算中通常通過在全息圖平面補零來實現(xiàn)。

· 約束④則是相位型全息圖獨有的強度約束，它將全息圖轉(zhuǎn)變?yōu)榧兿辔环植肌?/p>

二、優(yōu)化框架

優(yōu)化框架決定了逆問題最優(yōu)解的搜索路徑，通常會極大影響計算時間、計算所需存儲空間和最終收斂點。計算全息中較為廣泛應(yīng)用的優(yōu)化框架包交替投影法和梯度下降方法，其中梯度下降包括一階梯度下降與二階梯度下降。

圖4：常用的計算全息優(yōu)化框架

· 交替投影法 (Alternating Projections) 通過在兩個閉集合之間的交替投影找出能夠滿足兩個閉集合約束的最優(yōu)解。

1972年，G-S 迭代作為交替投影算法被提出用于解決相位恢復(fù)問題，如圖5所示，它使用一對正逆傅里葉變換作為投影，從物平面與傅里葉平面上已知的強度分布中恢復(fù)相位。

圖5：交替投影：G-S算法

后來 Fienup 對這種方法進行了改進，如圖6所示，通過在雙平面上施加多種非負約束增強了交替投影的靈活性，并將其命名為誤差下降算法 (Error Reduction Algorithm) 。

圖6：交替投影：誤差下降算法（Error Reduction Algorithm）

隨后，將交替投影應(yīng)用到計算全息中的相關(guān)研究也開始涌現(xiàn)。1988年，Wyrowski 和 Bryngdahl 提出了一種專門應(yīng)用于計算全息的迭代傅里葉變換算法 (Iterative Fourier Transform Algorithm，IFTA) 。如圖7所示，IFTA算法在計算中施加帶寬約束和空間尺寸約束，并且基于物光波前的頻譜與物體強度之間的自相關(guān)關(guān)系提出了物平面上的密集采樣方法。

圖7：交替投影：迭代傅里葉算法（IFTA）

· 一階梯度下降通過梯度計算來判斷損失函數(shù)下降的方向，從而尋找滿足約束條件的最優(yōu)解，如圖8所示，具有代表性的算法為隨機梯度下降法 (Stochastic Gradient Descent，SGD) 。

圖8：一階梯度下降：隨機梯度下降（SGD）

· 二階梯度下降在判斷損失函數(shù)下降方向的基礎(chǔ)上，通過二階梯度運算進一步尋找損失函數(shù)下降最快的方向，從而搜索到更大范圍內(nèi)的最優(yōu)解，如圖9所示，代表性算法為擬牛頓法 (Quasi-Newton Method) 。

圖9：二階梯度下降：擬牛頓法

三、初始化條件

初始化條件在計算全息的非凸優(yōu)化場景中通常指物光波前相位的初始化定義。由于物光波相位是全息圖優(yōu)化中唯一的浮動參數(shù)，不同的初始化物光相位對最終收斂點有極大的影響。

· 隨機相位的使用默認了物光波前所記錄的物體具有散射表面，由于現(xiàn)實世界中的大多數(shù)材料在波長的尺度上是粗糙的，粗糙散射表面的各個微觀面為入射光貢獻了隨機分布的相位。如圖10所示，隨機相位物光波前能夠重建出類似散射體的離焦效果。這種與真實世界類似聚焦與離焦效果是全息顯示縱深感的重要來源。但由于計算全息通常使用相干光照明，隨機相位也為重建帶來了散斑噪聲。

圖10：隨機相位初始化的三維重建

· 均勻相位的物光波前帶寬較小且不發(fā)生散射，能夠?qū)崿F(xiàn)高度逼真的無散斑重建。均勻相位從物理上描述了自然界中極度光滑表面給物光波前帶來的相位分布，例如鏡面物體表面，這樣的物體表面即使在被相干光照射的情況下也極少產(chǎn)生散斑。如圖11所示，重建波前在離焦位置重建出的是輪廓外擴的衍射圖案而不是模糊效果，因此重建波前會失去作為散射前波的傳播特性，并且無法在三維空間中帶來物體的縱深感。

圖11：均勻相位初始化的三維重建

· 會聚的二次相位也常在正向模型中被用作物光波的初始相位。在二次相位的全息圖重建中，隨著傳播距離的增加，重建強度圖案的空間尺寸也隨之放大。如圖12所示，由于這種縮放特性的存在，二次相位使重建波前無法如實地反饋三維物體的真實大小關(guān)系，無法在三維空間中保持其整體尺寸特征。因此，二次相位的全息圖大多被應(yīng)用于二維的全息投影。

圖12：二次相位初始化的三維重建

▎總結(jié)

非凸優(yōu)化方法的介入不僅為計算全息中的核心難點問題提供了適當?shù)奶幚矸椒ǎ矠橛嬎闳D的更廣泛應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。論文提供了基于交替投影算法、隨機梯度下降法與擬牛頓法的全息圖優(yōu)化開源代碼，能夠?qū)崿F(xiàn)多種功能性的二維與三維全息圖計算。

開源代碼鏈接：

https://github.com/THUHoloLab/Optimization_algorithms_for_CGH

▎論文信息

Sui, X., He, Z., Chu, D. et al. Non-convex optimization for inverse problem solving in computer-generated holography. Light Sci Appl 13, 158 (2024). 

https://doi.org/10.1038/s41377-024-01446-w